Рыночная модель шарпа. Индексная модель шарпа Вопросы для самопроверки

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бу маг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E (ri) каждой ценной бумаги, n величин с 2 i диспер сий всех норм отдачи и n(n1)/2 выражений попарных ковариаций ai j ценных бумаг в портфеле.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как однондексная модель Шарпа ( Sharpe singleindex model).

Общее описание модели. В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + (ЗхХ. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm , вычисленную на основе индекса Standart and Poor s (S & P 500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-то i ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность rm доходностью рыночного портфеля.

Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm 1, rm 2, ... , rmN . При этом доходность ri какой-то i ой ценной бумаги имела значения ri 1, ri 2, ... , riN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

a i параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm ;

P i параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm t доходность рыночного портфеля в момент t ;

sit случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri t и rm t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру р i , поскольку он определяет чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если й >1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm . Соответственно, при P j < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E (r) j , чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом р > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с р < 1 менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг р > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной

Оценка результатов регрессии. Параметры α i и β i регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между

Определение параметров ai и № регрессионной модели. Для на хождения параметров a i и P i по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметров a i и P i берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок в . Если провести необходимые вычисления, то окажется, что параметры a i и P i принимают следующие значения:

изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи ri . Однако величины a i и й не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибки e i . Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и ri , определяется разбросим случайных ошибок, который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки.

Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию а] ценных бумаг, для

которых составляется регрессионная модель.

Дисперсию ценной бумаги а] можно представить в виде двух слагаемых:

В этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели (ri t = a i + P irm t), а второе слагаемое степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина ^а 2 /а] ближе к единице, тем более точная регрессионная модель.

Следует иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции является общепризнанной мерой оценки линейной регрессии, то есть мерой того, насколько точно уравнение регрессии подходит для описания соотношений реальных данных ri t и rm t .

Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся значения дисперсий ^ случайных

ошибок, mo вычислим их. Общая формула для вычисления дисперсии случайной ошибки имеет вид:

В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на (N 2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении a i и P i.

Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей. Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из ценных бумаг, то будем считать, что:

1) Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E (ε i)=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n .

2) Дисперсия случайных ошибок σ ε 2 , i для каждой ценной бумаги постоянна.

3) Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.

4) Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

5) Отсутствует корреляция между случайными ошибками ε i и рыночной доходностью.

Используя эти упрощения, можно получить выражения E (ri), σ i 2 и

σ i , j для любых ценных бумаг в портфеле:

Подведем итог: если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии a i и P i позволя ет выразить с их помощью все начальные элементы ожидаемую доход ность E(ri) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии а 2 и ковариа

ции б i j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить n значений i, n величин Р i , n значений < , а также E (rm) и a 2 m . Следовательно всего потребуется найти: (n + n + n +2) = 3 n +2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица.

Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля.

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n +1)ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения можно представить в виде:

Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:

1) Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri , t каждой ценной бумаги.

2) По рыночному индексу (например, AK & M) вычислить рыночные доходности rm , t для того же промежутка времени.

3) Определить величины β i:

5) Вычислить дисперсии σ ε 2 i ошибок регрессионной модели

6) Подставить эти значения в уравнения (7.15 – 7.18)

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величина ми являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E *, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

Уравнение модели

Ожидаемую доходность актива можно определить не только с помощью уравнения SML, но также на основе так называемых индексных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и цены актива зависит от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов.

Простая индексная модель предложена У. Шарпом в середине 60-х годов. Ее часто называют рыночной моделью. В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравнение модели имеет следующий вид:

где: E(ri) - ожидаемая доходность актива;

Yi - доходность актива в отсутствии воздействия на него рыночных факторов;

βi - коэффициент бета актива;

Е(rm) - ожидаемая доходность рыночного портфеля;

εi - независимая случайная переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней равно нулю. Она имеет постоянную дисперсию; ковариацию с доходностью рынка равную нулю; ковариацию с нерыночным компонентом доходности других активов равную нулю.

Уравнение (192) является уравнением регрессии. Если его применить к широко диверсифицированному портфелю, то значения случайных переменных (εi) в силу того, что они изменяются как в положительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специфическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа принимает следующий вид:

портфеля;

βp - бета портфеля;

ур - доходность портфеля в отсутствии воздействия на него рыночных факторов.

Графически модель Шарпа представлена на рис. 66 и 67. Она показывает зависимость между доходностью рынка (rт) и доходностью актива (ri) и представляет собой прямую линию. Ее называют линией характеристики. Независимой переменной выступает доходность рынка. Наклон линии характеристики определяется коэффициентом бета, а пересечение с осью ординат - значением показателя уi.

YI можно определить из формулы (193), взяв средние значения доходности рынка и актива за предыдущие периоды времени. 1

Средняя доходность рынка.

Определить уравнение рыночной модели.

модели имеет вид:

представлено на рис. 66. Точками показаны конкретные значения доходности i-го актива и рынка для различных моментов времени в прошлом.

На рис. 66 и рис. 67 представлен случай, когда бета положительна, и поэтому график рыночной модели направлен вправо вверх, т. е. при увеличении доходности рынка доходность актива будет повышаться, при понижении - падать. При отрицательном значении беты график направлен вправо вниз, что говорит о противоположном движении доходности рынка и актива. Более крутой наклон графика говорит о высоком значении беты и большем риске актива, менее крутой наклон - о меньшем значении беты и меньшем риске (см. рис. 68). При β = 1 доходность актива соответствует доходности рынка, за исключением случайной переменной, характеризующей специфический риск.

Если построить график модели для самого рыночного портфеля относительно рыночного портфеля, то значение у для него равно нулю, а беты +1. Графически данная модель представлена на рис. 67.

15. 3. 2. Коэффициент детерминации

Рыночную модель можно использовать для того, чтобы разделить весь риск актива на дивесифицируемый и недиверсифицируемый, Графически специфический и рыночный риски представлены на рис. 68. Согласно модели Шарпа дисперсия актива равна:

Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется рынком, используют коэффициент детерминации (R2). Он представляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его общей дисперсии.

Подставив данное значение в формулу (196), получим результат, который говорит о том, что коэффициент детерминации - это квадрат коэффициента корреляции.

R2 = (Corri,m)2 (197)

R2 = (Corri,m)2 (197)

В последнем примере R-квадрат равен 0, 1699. Это означает, что изменение доходности рассматриваемого актива можно на 16, 99% объяснить изменением доходности рынка, а на 83, 01% - другими факторами. Чем ближе значение R-квадрат к единице, тем в большей степени движение рынка определяет изменение доходности актива. Обычное значение R-квадрат в западной экономике составляет порядка 0, 3, т. е. 30% изменения его доходности определяется рынком. R-квадрат для широко диверсифицированного портфеля может составлять 0, 9 и большую величину.

Модель Шарпа в отличие от модели Марковица требует меньше информации и вычислений. Шарп пришел к выводу, что доходность каждой отдельной акции строго коррелирует с общей доходностью рынка, поэтому нет необходимости определять ковариацию каждой акции друг с другом, достаточно определить, как они взаимодействуют с рынком.

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины - независимую (Х) и зависимую (У) линейным выражением У = α + β·Х. В модели Шарпа независимой считается ожидаемая доходность на фондовом рынке в целом (доходность рыночного портфеля) Rm, вычисленная на основе индекса компании Standart and Poor’s. В качестве зависимой переменной берется доходность Ri какой-нибудь ценной бумаги. Пусть доходность Rm принимает случайные значения Rm1; Rm2…. Rmn, а доходность i-той ценной бумаги значения Ri1; Ri2…. Rin. Тогда линейная регрессионная модель, представляющая взаимосвязь между доходностью рынка и доходностью по конкретной ценной бумаге будет иметь вид:

Ri = αi + βi Rm + εi,

где Ri – доходность i-той ценной бумаги в определенный момент времени (например, 25 июня 2003 года);

αi - это параметр, показывающий какая часть доходности i-той ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг Rm;

βi – коэффициент, показывающий чувствительность доходности i-той ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

Rm – доходность рыночного портфеля в данный момент времени;

εi - случайная ошибка, связанная с тем, что действительные значения Ri и Rm иногда отклоняются от линейной зависимости. Для упрощения расчетов ее можно принять равной 0.

βi - коэффициент «бета» - измеритель риска вложений, реакция (чувствительность) ожидаемого дохода по ценной бумаге на изменение внешних факторов;

βi = σi , βi = ρi,m · σi ,

где σi - среднеквадратичное отклонение доходности i-той ценной бумаги;

σm - среднеквадратичное отклонение доходности по рынку в целом;

ρim – коэффициент корреляции доходности i-той ценной бумаги и по рынку в целом.

Предполагая, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, Шарп вводит следующие предварительные условия:

Среднеарифметическая величина случайных ошибок Еε для всех ценных бумаг портфеля равна 0;

Дисперсия случайных ошибок σε² для каждой ценной бумаги постоянна.

Для каждой ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение T лет величинами случайных ошибок;

Отсутствует корреляция между случайными ошибками εi и рыночной доходностью;

Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

На основе этих упрощений Шарп, для любых ценных бумаг в портфеле, получает следующие выражения:

Еi = αi + βi Em ,

σi² = βi² · σm² + σεi² ,

σij = βi² βj² · σm² ,

где Еi - ожидаемая среднеарифметическая доходность ценных бумаг i;

Еm - ожидаемая среднеарифметическая доходность рыночного портфеля;

σi² - дисперсия i-той ценной бумаги;

σm² - дисперсия рыночного портфеля;

σεi² - дисперсия случайной ошибки;

σij (covij) - ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

βi и βj – чувствительность доходности i-той и j-той ценной бумаги к изменению рыночной доходности.

Таким образом, для построения границы эффективных портфелей есть все необходимые элементы: Еi; σi²; σij.

Ожидаемая доходность портфеля , состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

Еп= ∑ Хi Еi

Дисперсия портфеля в модели Шарпапредставляется в виде:

σn² = ∑ Хi² σεi² ,

σεi² = ∑ (Rit - (αi + βi Rmt)) ² / (n-2)

Вопросы для самопроверки

1. Что такое портфель ценных бумаг?

2. Дайте характеристику различным типам инвестиционных портфелей.

3. Дайте характеристику агрессивному, консервативному и умеренно-агрессивному инвестору.

4. Что понимается под активным и пассивным управлением инвестиционным портфелем?

5. Что такое диверсификация инвестиционного портфеля?

6. Как определить доходность и риск инвестиционного портфеля?

7. Что означает положительная и отрицательная ковариация между величинами доходности по ценным бумагам?

8. Что характеризует коэффициент корреляции?

9. Что такое эффективная граница Марковица?

10. Как рассчитывается доходность ценных бумаг компании и β – коэффициент в модели Шарпа?

В 1964 г. У. Шарпом была предложена однофакторная рыночная модель доходности актива. Он сформулировал и обосновал утверждение о том, что доходность любого капитального финансового актива, обращающегося на фондовом рынке, точно коррелирует с некоторым фактором, присущим данному рынку. В качестве такого фактора может быть выбран уровень доходности рыночного индекса.

Рыночный индекс - это взвешенная сумма курсов наиболее важных для рынка ценных бумаг, а доходность рыночного индекса представляет собой их усредненную доходность.

Одним из наиболее широко известных рыночных индексов в США является S&P 500, который представляет собой средневзвешенную величину курсов акций 500 наиболее крупных компаний, а наиболее часто цитируемым рыночным индексом является индекс Доу - Джонса {DJIA).

В России наиболее известным является индекс РТС , определяемый по акциям наиболее крупных российских компаний.

Рыночный портфель - совокупность всех акций, обращающихся на фондовом рынке. Однако в связи с тем, что точно определить структуру рыночного портфеля не удается, в качестве рыночного портфеля используют рыночный индекс.

В рыночной модели предполагается, что доход по акции связан с доходом по рыночному индексу следующим образом:

где г,-, г м - фактические доходности акции данного вида и рыночного индекса в определенные моменты времени;

cw - ордината точки пересечения прямой с вертикальной осью;

Р/м - величина наклона прямой;

?/л/ - величина случайной ошибки.

Коэффициент наклона рыночной модели часто называют коэффициентом бета (или просто бетой).

Рыночный индекс г м в определенной степени отражает состояние экономики в целом, а рыночная модель показывает, насколько доходность ценной бумаги соответствует экономической динамике страны.

На основе выборочных наблюдений определяется характеристическая линия данной ценной бумаги:

где тi = М(г г), г м - ожидаемая доходность акции данного вида и рыночного портфеля соответственно:

Коэффициенты а, и (3, рассчитываются по формулам

где GjM - ковариация между доходностью i-и ценной бумаги и доходностью рыночного индекса;

7 М - среднее значение доходности индекса;

g 2 m -- дисперсия доходности индекса.

Диверсификация

Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией о 2 , состоит из двух частей: 1) рыночный (или систематический) риск; 2) собственный, нерыночный (или несистематический) риск:

где g 2 m - дисперсия доходности рыночного индекса;

(3 2 а^ - рыночный риск ценной бумаги i; а 2 - собственный риск ценной бумаги i, мерой которого является дисперсия случайной погрешности е ш .

Общий риск портфеля. Если долю фондов инвестора, вложенную в ценную бумагу i данного портфеля р , обозначить через Xi, то доходность портфеля

Таким образом, рыночная модель портфеля является прямым обобщением рыночных моделей отдельных ценных бумаг.

Общий риск портфеля есть

г Д е Pp=(Z-*.P) 2 -

Предполагая, что случайные отклонения доходности ценных бумаг являются некоррелированными, имеем а 2 ер = x 2 G 2 Fi .

Таким образом, общий риск портфеля состоит из двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельных ценных бумаг. Эти компоненты также носят название рыночного риска (P^cj^) и собственного риска ().

Рыночный риск портфеля. Чем более диверсифицирован портфель (т. е. чем большее количество ценных бумаг в него входит), тем меньше каждая доля x t . Так как коэффициент бета портфеля является средним значением коэффициентов бета ценных бумаг, входящих в портфель, то значение (3 ; , при диверсификации не меняется существенным образом. Можно утверждать, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска.

Собственный риск портфеля. Если предположить, что во все ценные бумаги инвестировано одинаковое количество средств, то доля х { составит VN, а уровень собственного риска будет равен

Значение, находящееся внутри круглых скобок последнего выражения, является средним собственным риском ценных бумаг, образующих портфель. Но собственный риск портфеля в N раз меньше данного значения. Если портфель становится более диверсифицированным, то количество бумаг в нем (N) становится больше. Это означает, что величина VN уменьшается, что приводит к уменьшению собственного риска портфеля.

Можно утверждать, что диверсификация существенно уменьшает собственный риск.

Таким образом, увеличение диверсификации может привести к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же. Рис. 13.13 показывает, как диверсификация приводит к снижению собственного риска и усреднению рыночного риска.

Рис. 13.13. Риск и диверсификация Упражнение 13.3. Рыночная модель портфеля имеет вид

Какой будет ожидаемая доходность портфеля, если ожидаемая доходность на индекс рынка составляет 12 %?

Ответ: 12,3 %.

Упражнение 13.4. Портфель составлен из трех ценных бумаг, характеристики которых представлены в табл. 13.11

Таблица 13.11

Исходные данные для упражнения 13.4

Вычислите общий риск портфеля, если стандартное отклонение доходности рыночного индекса равняется 18%.

Ответ: 19,7 %.А

Пример 13.11. Рассмотрим два портфеля: один, состоящий из четырех ценных бумаг; а второй - из десяти. Все ценные бумаги имеют бета-коэффициент, равный единице, и собственный риск в 30 %. В обоих портфелях доли всех ценных бумаг одинаковы. Вычислим общий риск обоих портфелей, если стандартное отклонение доходности индекса рынка составляет 20 %.

Т Пусть N - число ценных бумаг в портфеле, тогда доля х,- составит 1 IN.

Уровень собственного риска портфеля будет равен

Бета портфеля: $ р = 1. Общий риск портфеля:

Стандартное отклонение доходности первого портфеля (N= 4):

Стандартное отклонение доходности второго портфеля (N= 10):

Пример 13.12. Рассмотрим две ценные бумаги А и В с коэффициентами бета, равными = 1,2 и (3 5 = 0,8; собственными рисками су 2 а = 37 и а 2 в =23. Дисперсия доходности рыночного индекса 2 м =64.

Т Значения дисперсии доходности для ценных бумаг А и В есть: с^ = (1,2 2 64) + 37 = 129 и о 2 = (0,8 2 64) + 23 = 64.

a) Портфель, состоящий из двух ценных бумаг. Рассмотрим комбинацию ценных бумаг А и В в портфеле, образованном вложением равного количества денег инвестора в каждую ценную бумагу, т. е. Хд=Хв = 0,5.

Бета данного портфеля:

Дисперсия доходности портфеля: (1,0 2 64) + 15 = 79.

Данное выражение показывает общий риск портфеля, состоящего из двух ценных бумаг.

b) Портфель, состоящий из трех ценных бумаг. Добавим к двум ценным бумагам А и В третью (Q ценную бумагу с р с = 1 и а ес = 30. Сформируем портфель, состоящий из трех ценных бумаг, взятых в равных пропорциях (х А =хв = х с = 0,33).

Дисперсия доходности ценной бумаги С есть

Бета портфеля:

Таким образом, увеличение диверсификации не привело к изменению уровня рыночного риска. Вместо этого оно привело к усреднению рыночного риска.

Дисперсия случайного отклонения доходности портфеля:

Отметим, что дисперсия случайного отклонения доходности портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, меньше дисперсии доходности портфеля, состоящего из двух ценных бумаг (т. е. 10

Доходность портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, имеет дисперсию

Это выражение показывает общий риск портфеля, значение которого меньше, чем значение общего риска портфеля, состоящего из двух ценных бумаг (74

Для определения риска портфеля можно также использовать формулу, предложенную Марковицем:

тогда дисперсия доходности портфеля, состоящего:

a) из двух ценных бумаг: а 2 = х 2 А а 2 А + х 2 в (5 2 в + "1х А х в $ А $ в (5 2 м = = 0,5 2 129 + 0,5 2 64 + 2 0,5 0,5 1,2 0,8 64 = 79;

b) трех ценных бумаг: а 2 = х А о 2 + х 2 в а 2 в + х 2 с

2x a x c $ a $ c g 2 m + 2х в х с $ в $ c g 2 m = 0,33 2 129 + 0,33 2 64 + 0,33 2 94 + + 2 0,33 0,33 1,2 0,8 64 + 2 0,33 0,33 1,2 1,0 64 + + 2 0,33 0,33 0,8 1,0 64 = 74. А

Бета-коэффициент. Для измерения рыночного риска актива (портфеля) используется величина бета. Она показывает зависимость между доходностью актива (портфеля) и доходностью рынка. Доходность рынка - это доходность рыночного портфеля.

Поскольку величина бета определяется по отношению к рыночному портфелю, то бета самого рыночного портфеля равна единице, так как ковариация доходности рыночного портфеля с самой собой есть ее дисперсия, отсюда

где Рд/ - бета рыночного портфеля.

Бета актива (портфеля) без риска равна нулю, потому что нулю равна ковариация доходности актива (портфеля) без риска с доходностью рыночного портфеля.

Величина (3 актива (портфеля) говорит о том, насколько его риск больше или меньше риска рыночного портфеля.

Если для акции некоторой компании:

• |(3/| = 1, то доходность этой акции в среднем совпадает с доходностью рыночного портфеля, или, с другой стороны, акции данной компании имеют среднюю степень риска, сложившуюся на рынке в целом (такие акции называются среднерисковыми);
• |(3,| > 1, то доходность этой акции растет в среднем быстрее, чем по рыночному портфелю, или, с другой стороны, акции данной компании более рискованные, чем в среднем на рынке (такие акции называются агрессивными). Такие акции следует иметь в своем портфеле, когда ожидается рост доходности рыночного портфеля. Они могут обеспечить инвестору более высокий уровень доходности, чем в среднем по рынку;
• |(3,|

Бета может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

• (3, > 0, то доходность бумаг данного вида колеблется в такт с рынком;

Активы с отрицательной бетой являются ценными инструментами для диверсификации портфеля, поскольку в этом случае можно построить портфель с «нулевой бетой», который не будет нести риска.

Рассмотрим портфель из акций двух видов. Ожидаемая доходность такого портфеля и ее дисперсия есть:

Из формулы для дисперсии следует, что уменьшение риска портфеля по сравнению с риском вложений в каждый вид ценных бумаг зависит от степени коррелированности р 12 доходности этих ценных бумаг, а также от выбора структуры портфеля. Можно показать, что при коэффициенте pi 2 = -1 существует структура портфеля с нулевым риском.

Действительно, из условий

следует, что портфель, содержащий рисковые бумаги с отрицательной корреляцией p l2 = -1 в пропорциях

имеет нулевой риск. Доходность такого безрискового портфеля равна

Пример 13.13. Имеется портфель, состоящий из двух ценных бумаг, характеристики которых приведены в табл. 13.12.

Таблица 13.12

Исходные данные для примера 13.13

Для различных уровней корреляции этих ценных бумаг определим максимальное и минимальное значения стандартного отклонения доходности портфеля.

Т Из выражения дисперсии доходности портфеля

следует: при p J2 = 1 имеем max а р = x t ai + х 2 а 2 - 0,35 20 + 0,65 х х 25 = 23,25 %; при р 12 = -1 имеем min = x 0 -x 2 a 2 | = 0,65 25 - -0,35 20 = 9,25 %. А

Пример 13.14. Рассматриваются две акции: акция 1, акция 2. Пусть известны индекс РТС и курсы акций на конец месяца (табл. 13.13).

Таблица 13.13

Исходные данные для примера 13.14, долл.

Период наблюдения	Индекс РТС	Курс акции 1	Курс акции 2
Сентябрь

При определении доходности будем учитывать только изменения курса акций (без учета дивидендов).

Преобразуя данные табл. 13.13, определим доходности индекса РТС и акций обоих видов в течение указанного периода (табл. 13.14).

Например, доходность в феврале.

Индекс РТС: 100 (70,03 - 55,12)/55,12 = 27,05 %;

Курс акции 1: 100 (0,099 - 0,071)/0,071 = 39,44 %;

Курс акции 2: 100 (0,044 - 0,027)/0,027 = 62,96 %.

Фактическая доходность для примера 13.14, %

Период наблюдения	Индекс РТС	Курс акции 1	Курс акции 2
Сентябрь

Преобразование данных табл. 13.13 в данные табл. 13.14 удобно производить с использованием электронных таблиц Excel. Используя пакет Анализ данных Excel (инструмент Регрессия ), получим характеристические линии соответствующих акций:

где nij, Т м - ожидаемая доходность /-й акции и рыночного портфеля соответственно.

• акция 1: ai = 4,17; pi = 0,93; Rf = 0,72; o e i = 12,96;
• акция 2: a 2 = 1,60; (3 2 = 1,19; R% = 0,77; о е 2 = 14,65.

На рис. 13.14 представлены графики характеристических линий обеих акций.

Полученные уравнения можно использовать для прогнозирования ожидаемой доходности акций в зависимости от прогноза ожидаемой доходности по фондовому рынку.

Анализ полученных результатов.

Расчетные значения коэффициентов альфа показывают, что при нулевой доходности фондового рынка большая доходность достигается по акциям 1:

Рис. 13.14.

Из сравнения значений коэффициентов бета для акций обоих видов следует, что с ростом доходности фондового рынка доходность по акциям 2 будет возрастать быстрее, чем по в среднем по рынку, а при падении доходности фондового рынка доходность по акциям 1 будет падать медленнее, чем в среднем по рынку:

• Коэффициенты Я 2 = 0,72 и Я 2 = 0,77 показывают долю рыночного риска в общем риске по соответствующим акциям в форме дисперсии, а доля нерыночного риска: (1 - Rf ) = 1 - 0,72 = 0,28 и(1 - Д 2)= 1 - 0,77 = 0,23.
• Из рис. 13.14 следует, что с ростом доходности фондового рынка ожидаемая доходность акций обоих видов возрастает. При относительно небольшой доходности фондового рынка большую ожидаемую доходность обеспечивают акции 1. В точке пересечения прямых ожидаемые доходности по акциям обоих видов совпадают. При дальнейшем увеличении ожидаемой доходности фондового рынка большую доходность обеспечивают акции 2, для которых коэффициент бета больше единицы.

Анализ полученных данных показывает, что при ожидаемом уменьшении доходности рыночного портфеля (соответствующего биржевого индекса) целесообразнее иметь в портфеле акции с коэффициентом бета меньше единицы, а при прогнозируемом увеличении доходности рыночного портфеля - акции с коэффициентом бета больше единицы. ?

Информация о значениях коэффициентов а, (3, R 2 и о Е для различных ценных бумаг, определенных подобным образом в зависимости от выбранного рыночного портфеля и установленного периода наблюдения, регулярно публикуется в специальных бюллетенях.

Пример 13.15. Акции компании имеют бета-коэффициент, равный 1,20. В течение пяти лет акции этой компании и индекс рынка демонстрировали доходность, представленную в табл. 13.15.

Таблица 13.15

Исходные данные о доходности для примера 13.15, %

		Индекс рынка

Предполагая, что коэффициент смещения рыночной модели равен 0 %, вычислим стандартное отклонение случайной погрешности рыночной модели за данный период.

ТПо условию ожидаемые доходности акций компании задаются выражением т, = 1,2гм. В табл. 13.16 приведены значения ожидаемой и фактической доходности за рассматриваемый период.

Таблица 13.16

Расчетная таблица доходности акций для примера 13.15

Стандартное отклонение случайной погрешности за данный период: ?о 2 /5 = 4,39/5 = 0,88. А

Современная теория портфеля основана на использовании статистических и математических методов. Ее отличительной чертой является взаимосвязь между рыночным риском и доходом, а именно: инвестор должен формировать относительно рискованный портфель, чтобы рассчитывать на относительно высокий доход. Использование такого подхода требует определенного компьютерного и математического обеспечения. Во многих случаях стратегически верным будет комбинирование перечисленных выше подходов.

На сегодняшний день наиболее распространены две модели определения характеристик портфеля: модель Марковица и модель Шарпа. Обе модели созданы и успешно работают в условиях уже сложившихся относительно стабильных западных фондовых рынков. К сожалению, украинский фондовый рынок назвать стабильным пока еще нельзя. Поэтому была предпринята попытка, создать модель, способную успешно функционировать в условиях формирующегося, развивающегося и реорганизовывающегося фондового рынка, каковым на сегодняшний день и является фондовый рынок Украины. Предложенная модель получила название "Квази-Шарп" (вследствие схожести в общих чертах с моделью Шарпа) и будет приведена ниже.

Модель Марковица

В 1952 г. Гарри Марковиц опубликовал фундаментальную работу, которая является основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля. Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом владения (holding period). В конце периода владения инвестор продает ценные бумаги, которые были куплены в начале периода, после чего либо использует полученный доход на потребление, либо реинвестирует доход в различные ценные бумаги (либо делает то и другое одновременно).

Подход Марковица к принятию решения дает возможность адекватно учесть обе эти цели. Следствием наличия двух противоречивых целей является необходимость проведения диверсификации с помощью покупки не одной, а нескольких ценных бумаг.

Модель основана на том, что показатели доходности различных ценных бумаг взаимосвязана: с ростом доходности одних бумаг наблюдается одновременный рост по другим бумагам, третьи остаются без изменения, а по четвертым наоборот доходность снижается. Такой вид зависимости не является детерминированным, т.е. однозначно определенным, а стохастическим и называется корреляцией.

Модель Марковица рационально использовать при стабильном состоянии фондового рынка, когда желательно сформировать портфель из ценных бумаг различного характера, принадлежащих различным отраслям. Основной недостаток модели Марковица - ожидаемая доходность ценных бумаг принимается равной средней доходности по данным прошлых периодов. Поэтому модель Марковица рационально использовать при стабильном состоянии фондового рынка, когда желательно сформировать портфель из ценных бумаг различного характера, имеющих более или менее продолжительный срок жизни на фондовом рынке

Модель Шарпа

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом. Основная идея модели заключается в том, что инвестор не приемлет риск и готов идти на него только в том случае, если это предполагает дополнительную выгоду, т.е. повышенную норму отдачи на вложенный капитал по сравнению с безрисковым вложением. В качестве безрисковой ставки используется норма доходности по долгосрочным правительственным облигациям со сроком погашения, как правило, через 10 - 20 лет. Модель Шарпа применима в основном при рассмотрении большого количества ценных бумаг, описывающих большую часть фондового рынка. Основной недостаток модели - необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. В этой модели не учитывается риск колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения.

Модель "Квази-Шарп"

Модели Марковица и Шарпа были созданы и успешно работают в условиях западных фондовых рынков, обладающих стабильностью и сравнительной прогнозируемостью. В странах с переходной экономикой фондовые рынки находятся на этапе становления и развития. Происходит постоянная реорганизация. Фондовый рынок Украины не является исключением. В таких условиях применение моделей Марковица и Шарпа приводит к искажениям, связанным с нестабильностью котировок ценных бумаг и фондового рынка в целом.